УДК 377.031

 

ПРИМЕНЕНИЕ ЗАДАНИЙ, «ПРОВОЦИРУЮЩИХ» ОШИБКУ, В ПРЕПОДАВАНИИ  МАТЕМАТИЧЕКИХ ДИСЦИПЛИН

 

Л.Ф. Логачёва, преподаватель математических дисциплин,

Технологический институт им. Н.Н. Поликарпова ФГБОУ ВО ПГУ, г. Орел,

e-mail: fspo-gend@rambler.ru

 

Аннотация. В данной статье рассматриваются провоцирующие задания как средство предупреждения ошибок студентов при обучении математике.

Народная мудрость «на ошибках учатся» действительно права. Во-первых, непреднамеренно допущенная ошибка, приводящая к абсурдному утверждению или результату, как правило, вызывает у студентов живой интерес к изучаемому материалу. Во-вторых, ошибка учит не повторять ее. А, в-третьих, ошибка, преднамеренно допущенная при доказательстве математического утверждения-теоремы или при решении какой-либо математической задачи, вызывает у студентов познавательный и творческий интерес к неформальному освоению содержания изучаемого вопроса. Это, конечно, в случае, если за ошибку не наказывают, если ее выявление – игра без отрицательных эмоций, живое обсуждение вопросов, в которых и студент чувствует себя компетентным. Такой процесс постепенно вырабатывает у студентов потребность контролировать свои действия, умение выявлять и устранять свои ошибки. Без такого умения нет математической культуры. Воспитательное воздействие подобного процесса, по-видимому, еще важнее обучающего. Приведем несколько примеров заданий, «провоцирующих» ошибку. Она возникает за счет неоправданного распространения студентами предшествующего опыта на новый объект за счет применения неверных аналогий.

Примеры задач взяты из различных разделов программы по математике для демонстрации широких возможностей метода обучения на ошибках. Понятно, что фантазия и опыт преподавателя подскажут ему подобные примеры задач в любой из изучаемых тем.

Пример 1. Фрагмент игры «Исправьте ошибку».

На доске записаны решения нескольких показательных уравнений и неравенств, каждое из которых имеет ошибку, часто допускаемую студентами. Требуется найти и исправить её.

 

Ошибки:

1) неверная запись показателя х степени превратила его в множитель. Эта ошибка показывает, как важно понимать, какое уравнение является показательным;

2) привычное обозначение переменной величины буквой х, привело к неполному решению исходного уравнения;

3) не учтён характер монотонности показательной функции с основанием степени, меньшим единицы и вторая ошибка - в решении уже линейного неравенства;

4) нарушено свойство степени: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, и наоборот: если в показателе степени сумма, то можно перейти к произведению степеней с одинаковыми показателями.

Пример 2. Фрагмент игры «Найди ошибку – вылечи компьютер» (при изучении комплексных чисел)

	Задания с ошибками	Правильное решение
1.	,
2.
3.
4.

 

Использовать ошибку в обучающем процессе можно не только в игровых технологиях, но и при проведении обычных занятий изучения, закрепления нового материала и контроля знаний студентов.

Пример 3. Построить графики функций:

1. ;  2)  ;  3) .

Распространенная ошибка – считать прямую  графиком третьей функции. В действительности область определения этой функции D(y) =  и ее график – биссектриса первого координатного угла.

Пример 4. Построить графики функций:

1) ;  2) ;  3)

График последней функции изображен на рисунке 1.

Рисунок 1

Пример 5. Найти значения следующих выражений:

1) arccos(cos3);  2) arctg(tg(–1,4));  3) arcctg(ctg 3,1);  4) arcsin(sin 6).

Так как тождество arcsin(sinx) = x выполняется только при  ≤ , то 6 не является значением последнего выражения. Верный ответ: 6 – 2.

К традиционным ошибкам относится и та, где при решении уравнений или неравенств без предварительного исследования делят обе части на выражение, содержащее переменную, что может привести к потере решений. Но существует целый класс уравнений (неравенств), например тригонометрические уравнения, однородные относительно синуса и косинуса, где деление на выражение с переменной – метод решения. Однако не для всех однородных тригонометрических уравнений метод деления приводит к равносильному уравнению.

Для того чтобы студенты аккуратно относились к методу деления на выражение, содержащее переменную, т.е. проводили исследование, предназначены следующие примеры задач.

Решить уравнения:

1) sin x + cos x = 0;  2) sin²x – sin2x – 3cos²x = 0;  3) cos²x = 3sin x cos x.

Деление обеих частей последнего уравнения, по аналогии с предыдущими, на cos²x, очевидно, приведет к потере корней (заметим, что это уравнение можно решить методом деления, но только на sin²x).

Рассмотрим как пример еще одного применения изложенной идеи два блока задач, имеющих своей целью способствовать преодолению формализма в знаниях обучающихся.

Пример 6. Найти уравнение касательной к графику заданной функции в точке с абсциссой х₀:

1) ,;    2) ,;  3),.

В третьем задании нет необходимости, как в двух первых, использовать общее уравнение касательной. Ведь графиком последней функции является полуокружность с центром (0;0) и радиусом 1. Поэтому, очевидно, искомое уравнение касательной имеет вид у = 1.

Пример 7. Решить уравнения:

1) ;  2) ;  3) .

Два первых уравнения требуют стандартных приемов решения иррациональных уравнений. Для третьего уравнения более рациональным представляется следующий подход: рассматриваемое уравнение не имеет корней, так как при любом допустимом х его левая часть принимает отрицательные значения, тогда как правая – положительное число.

Приведённые выше разновидности заданий с ошибками с целью их найти и исправить и провоцирующих на ошибку задач не исчерпывают всего их многообразия, но дают представление о способах составления таких задач и путях их использования в обучении математике.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Богомолова Е.П. Диагноз: математически малограмотный. // Математика в школе. 2014. № 4. С. 3–9.
2. Брадис В.М. ошибки в математических расчётах. М.: Учпедгиз, 1959. С. 14.
3. Рослова Л.Н. Радикальное лечение как следствие диагноза. // Математика. №2. 2015.  С. 3.
4. Субботин И.Я., Якир М.С. Обучающая функция ошибки. // Математика в школе. № 2-3. 1992. С. 72